TRIGONOMETRIA

ÁNGULOS   

¿Que es un ángulo? 
un ángulo es la unión de dos líneas o semirrecta a la que se les denominan lados y al origen se le denomina vértice. 
La vértice es el punto donde se encuentran esas dos líneas o semirrecta

AB Lado inicial 

BC Lado final 

B vértice


En la trigonometría es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero es decir, hay diferencia en el ángulo ABC y el ángulo CBA considerando esto los ángulos se llaman orientados.
Los ángulos tambien se pueden notar por la griegas 𝞪→ alfa, β→beta, θ theta

ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO:

un ángulo 𝞪 se considera en posición normal o canónica cuando, su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el semieje positivo de X.
cuando un angulo se encuentra en posición normal  la ubicación del lado final permite determinar el cuadrante al cual pertenece en la siguiente imagen presento algunos ángulos ubicado en los distintos cuadrantes 

ÁNGULOS ESPECIALES: 

en un ángulo de trigonometría es importante tener en cuenta los distintos tipos de ángulos .

los ángulos se clasifican según su medida en :

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

MEDICION DE ANGULOS 

los ángulos se miden en grados y en radiales. El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radial es la medida de los ángulos en el sistema cíclico

MEDIDAS DE UN ÁNGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior. se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la medida  de las amplitudes de los ángulos un ángulo generado por la rotación del lado final en una vuelta mide 360 el grado sexsagesimal se define como 1/360 de una vuelta 

1° sexagecimal = 60´

1´ minuto = 60"

Ejemplo: expresa el ángulo 63,445° en grado, minutos y segundos

63,445° 

63°

0,445 x 60 = 26,7 ➡ 26´

0, 7 x 60 = 42"

Medidas de ángulos en el sistema cíclico

sobre una circunferencia , un ángulo central 𝞪 determina un arco AB

se dice que la medida de un ángulo 𝞪 es una radial (1 rad) si la longitud del arco AB que le corresponde es igual al radio de la circunferencia  

    ⌒ 

r=AB

 un radial es la medida de un angulo cuyo arco mide igual que un radio 

equibalencia entre el sistema sexagecimal y el sistema ciclico

puesto que la longitud de una circunferencia es igual a 2πr, se tiene que la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 360° es igual a 2π cuya medida es r, por lo tanto 360° es igual a 2πr para determinar la equivalencia de un grado  en radiales  se realiza los siguientes pasos.

360° = 2π rad

180°= π rad

1° =  π rad / 180

para determinar la equivalencia de un radial en grados se tiene que hacer el siguiente procedimiento.

π = 180

π= 180 / rad

En la siguiente imagen se muestra algunas medidas en grados y en radianes 

       Trigonometría

La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas : trigon::triangulo:metra:: medida.

La trigonometría  se originó como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleó para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios  fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para construir las pirámides , en grecia se destacan los trabajos de hiparco de nicea y de claudio ptolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas a finales del siglo Vlll los astrónomos árabes emplearon las funciones seno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras cinco funciones (coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante).

La trigonometría árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía árabe que comenzaron a aparecer en el siglo Xll. En la actualidad la trigonometría  se usa en muchos campos de conocimientos  tanto teórico como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigación geométricas y algebraicas razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triángulo.   

definición de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal 

si θ es un angulo en posicion normal y P(x,y) es un punto cualquiera contenido en el lado final diferente de 0(0,0) se cumple que. 

se definen las siguientes funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera.

como consecuencia de las definiciones anteriores se obtiene las siguientes relaciones recíprocas 

cabe notar que la función tangente y secante no están definidas para los ángulos mas o menos π1/2 . de la misma manera la función cotangente y secante no está definida para los ángulos 0, +− π, +− 2π 

signos de las funciones trigonométricas de un angulo en posicion normal 

para determinar el signo de las funciones trigonométricas debe considerarse el comportamiento de X, Y y r.

Si θ es un angulo en posicion normal y P(x,y) es un punto sobre el lado final de θ es diferente del origen (0,0) 

X y Y varían dependiendo el cuadrante en el que se encuentren por lo tanto el signo del valor de la función trigonométrica  para cada ángulo depende de los signos de los valores de X y Y.

Los signos de las funciones el los distintos cuadrantes 

funciones trigonométricas para cuadrantales

hasta el momento hemos visto los ángulos cuyo lado final se encuentra en uno de los cuatros cuadrantes ahora es importante considerar los ángulos cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.

A los angulos en posicion normal cuyo lado final termina en alguno de los semiejes del plano cartesiano se les llaman ángulos cuadrantales, en la siguiente figura se representan los ángulos cuadrantales 

Para determinar las funciones trigonométricas la función de los ángulos cuadrantales se considera que sobre su lado final se encuentran algunos de los puntos  (r,0) ; (0.r) ; (-r,0) ; (0,-r)

en el segundo cuadro se presentan los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales mayores o iguales 0 y menor de 360°

 Razones trigonometricas en un triangulo rectángulo 

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

los triángulos rectángulos ABC y EBD son semejantes por que cumplen el criterio de semejanza angulo-angulo ( los dos tienen un angulo recto y comparten la medida del angulo de 33,69°). Por lo tanto, el ángulo 𝞪 es congruente con el ángulo C; es decir, 𝞪 = 56,31°. Por ser triángulos semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre las medidas de sus lados y asi hallar la medida de segmento AB.  

Por lo tanto, AB= 6

otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas.

Sea el triángulo rectángulo de la figura se definen las razones trigonométricas del triángulo B como se presenta a continuación 

una razón trigonométrica expresa la relacion entre la medida de uno de los ángulos agudos y la medida de los lados de un triángulo rectángulo

Ejemplo: Las razones trigonométricas para el ángulo agudo 𝞪 en el triángulo rectángulo ABC de la figura se calcula aplicando las relaciones anteriores

Ángulos de referencia

si θ es un ángulo no cuadrantal. Se llama angulo de referencia θ al ángulo agudo que forma el lado final del angulo θ con uno de los semiejes de el eje X

Ángulos en el segundo cuadrante 

En la figura se muestra el ángulo de referencia θpara el ángulo θ. El angulo θ es igual 180° θ no esta en posición normal  sin embargo se puede definir para el las funciones trigonométricas a partir del triangulo o AB cuyos valores son positivos. En el segundo cuadrante  la función de seno θ es positiva y las funciones de coseno θ y tangente θ son negativas por lo tanto seno θ es igual a seno θ, coseno θ es igual a menos coseno θ y tangente θ es igual a menos tangente θ

 Ángulos en el tercer cuadrante

en la figura se muestra el ángulo de referencia θ para el ángulo θ. El angulo θ es igual a θ menos 180° este no esta en posición normal sin embargo se pueden definir en las funciones trigonométricas a partir de el triangulo o AB cuyos valores son positivos.

En el tercer cuadrante la función tangente θ es positiva y la función senoθ, cosenoθ, son negativos por lo tanto seno θ es igual a menos senoθ,cosenoθ es igual a menos cosenoθ, y tangente θ es igual a tangente θ 

 Ángulos en el cuarto cuadrante 

en la figura se muestra el ángulo de referencia θ para el angulo θ. El angulo θ es igual a 360°, θ no esta e posición normal se puede definir para el las funciones trigonométricas a partir de el triángulo o AB cuyos valores son positivos en el cuarto cuadrante la función de coseno θ es positiva y las funciones de seno θ y tangente θ son negativos por lo tanto   senoθ es igual a menos seno θ, coseno es igual a coseno θ, y tangente θ es igual a menos tangente θ  

Ángulos de elevación y de depresión

a continuación se definirán dos conceptos sobre ángulos que se usan en la solución de problemas con ángulos. Cuando un objeto es observado la recta imaginaria  que se forma entre el observador y el objeto se denomina linea visual.

La line visual forma con la horizontal imaginaria , que se traza desde los ojos de el observador, un ángulo que varia dependiendo de la ubicación de el objeto con respecto al observador si el objeto esta a un nivel mas alto que el observador el ángulo se denomina de elevación.

Si el objeto esta a un nivel mas bajo que el observador el ángulo se denomina depresión 

Trigonometria analitica

en las expresiones algebraicas se utilizan variables y constantes cuyos valores pertenece al conjunto de los números reales.

En esta  unidad se aplicaran algunos procedimientos utilizados en álgebra a expresiones que involucran funciones trigonométricas. Pues los valores de estas pertenecen al conjunto de los números reales 

Operaciones algebraicas con funciones trigonométricas

para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonométricas, se estudiarán la suma , la resta, multiplicación y la división de estas expresiones 

Suma y recta de expresiones trigonométricas

Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones que involucran las funciones trigonométricas se deben agrupar y reducir los términos semejantes